Делимость чисел принцип дирихле доклад

Принцип Дирихле Тема этого параграфа напрямую, казалось бы, не связана с арифметикой. Тем не менее, простые но не тривиальные соображения Дирихле используются во многих теоретико-числовых рассуждениях. От противного.

Канель-Белов, А. Ковальджи Канель-Белов А. ISBN 978-5-94057-331-9 В книге описан ряд классических идей решения олимпиадных задач, которые для большинства школьников являются нестандартными. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского типов всего 200 задач , которые сгруппированы по классам.

Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле Тема этого параграфа напрямую, казалось бы, не связана с арифметикой. Тем не менее, простые но не тривиальные соображения Дирихле используются во многих теоретико-числовых рассуждениях. От противного. Принцип Дирихле доказан. Как ни странно, этот простой принцип имеет глубокие применения. Прежде чем к ним переходить, решим несколько простых задач. Задача 1. В студенческой группе 25 студентов. Доказать, что по крайней мере у трёх студентов дни рождения в одном месяце.

Будем раскладывать студентов по двенадцати кучам в соответствии с месяцами их дней рождения. Поскольку дробных студентов не бывает, то в этой куче не менее трёх студентов. Задача 2. В классе 28 человек. В диктанте хулиган Вовочка сделал 13 ошибок, а остальные — меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали равное число ошибок.

Учеников будем раскладывать по кучам в соответствии с количеством сделанных ими ошибок. Таких куч 14 ошибок может быть от 0 до 13 , причём в последней только один человек — хулиган Вовочка. Значит, в остальных тринадцати — 27 человек. Задача 3. В доме 123 жильца, которым в сумме 3813 лет. Можно ли выбрать 100 из них, которым вместе не меньше 3100 лет?

Достаточно понять, будет ли вместе не меньше 3100 лет ста самым старшим? Предположим, что ста самым старшим в сумме менее 3100 лет. Это значит, что возраст одного из оставшихся двадцати трёх человек не менее 31 года.

Значит, самым старшим ста жильцам не менее 31 года каждому и их суммарный возраст не менее 3100 лет — противоречие. Задача 4. Количество знакомых у каждого может быть от 1 до n. Если раскладывать людей по кучам в соответствии с числом их знакомых, то в n куч разложатся n человек. Если предположить, что в каждой куче по одному человеку, то будет знакомый со всеми n, а значит, не будет человек, знакомого с только с одним человеком — противоречие. Задача 5. В строку выписано п целых чисел.

Докажите, что сумма нескольких рядом стоящих из них делится на п. Пусть числа a1 , … , an. Нужно доказать, что одно из bi делится на n, то есть даёт остаток 0 при делении на n. Предположим, что остаток 0 не даёт ни одно из них. Тогда их n, а ненулевых остатков — n — 1. Задача 6. Двоечник Вовочка выучил только одну цифру — единицу. Рассмотрим бесконечную последовательность чисел 1, 11, … , , … , записываемых одними единицами.

Если раскладывать их по кучам — остаткам от деления на c , то в какой-то куче будет два числа. Задача 7. Докажите, что существует степень числа 13, оканчивающаяся на 00000001. Задача 8. В единичный квадрат бросили 50 точек. Доказать, что найдутся две из них, отстоящие друг от друга на расстояние не более 0,3.

Разобьём квадрат на равные 49 квадратиков, проведя прямые, параллельные сторонам квадрата. Тогда какие-то две точки попали в один квадрат, то есть расстояние между ними не более длины диагонали квадратика, которая равна. Задача 9. На складе имеется по 200 сапог 41-го, 42-го и 43-го размеров, причём среди всех 600 сапог есть 300 левых и 300 правых. Докажите, что можно обуть не менее 100 человек.

Если обуто менее ста человек, то на это пошло менее двухсот сапог, а значит, осталось более 400 сапог. Среди них поровну левых и правых, но нет левых и правых одного размера, иначе можно было бы ещё кого-нибудь обуть. Из этих оставшихся более чем 400 сапог будет левых и правых поровну и более чем по 200.

Ни левые, ни правые не могут быть одного размера общее количество сапог одного размера равно 200. Значит, среди левых есть сапоги, по крайней мере, двух размеров. Точно так же и среди правых есть сапоги, по крайней мере, двух размеров. Но тогда есть левые и правые одного размера — противоречие. Задача 10. Даны пять точек на плоскости с целыми координатами. Доказать, что середина одного из отрезков, соединяющего две из них, тоже имеет целые координаты.

Рассмотрим координаты точек по модулю 2. Тогда они могут иметь один из четырёх видов 0; 0 , 0; 1 , 1; 0 , 1; 1. Если точек пять, то у двух из них M a; b и N c; d получатся одинаковые координаты по модулю 2. Эти точки искомые. Теперь докажем более серьёзное утверждение: Лемма о приближении действительных чисел рациональными.

Лемма доказана. Аналогично можно доказать следующее любопытное утверждение: П о окружности длины 1 из любой точки Н начинает в одну сторону прыгать кузнечик на расстояние. Более общо: Лемма о кузнечике. Значит эти следы в какую бы сторону по окружности они ни шли , обязательно дойдут до канавки, а перепрыгнуть через неё не смогут.

Доказанные леммы имеют весьма неочевидные применения: Задача: Доказать, что степени двойки могут начинаться на любую комбинацию цифр. Пусть N — число, десятичная запись которого представляет заданную комбинацию цифр.

ПОСМОТРИТЕ ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Задачи на доказательство делимости. Малая теорема Ферма - Ботай со мной #036 - Борис Трушин !

«Принцип Дирихле на факультативных занятиях по математике в школе» .. на делимость целых чисел, то принцип Дирихле целесообразно . семинаров, дискуссий, прослушивании докладов учащихся как по. В работе показана теоретическая значимость принципа Дирихле как основного метода формирования теории чисел. Подтверждена.

Тема 10 принцип Дирихле. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор. Одна из его форм — это принцип Дирихле, который успешно применяется к доказательству различных утверждений. Это достаточно простое утверждение, способное помочь в решении многих математических задач. Многие олимпиадные задачи решаются с его помощью. Чтобы применить принцип Дирихле для решения поставленной задачи, необходимо разобраться, что в ней — клетки, а что — кролики. Категории обучающихся: Учащиеся 10-11 классов средней общеобразовательной школы. Объем образовательного проекта акад. Форма обучения: Очная. Форма занятий: Практическо-проектная.

Ознакомиться с биографией Дирихле 2.

Принцип Дирихле и его формулировки. Применение принципа Дирихле при решении 10 задач на размещение. Применение принципа Дирихле при 12 решения геометрических задач.

Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи

Задачи по этой теме Автор: Д. И то, и другое можно обосновать разбором случаев. Но более грамотным будет построить рассуждение от противного. Тогда в каждый из 12 месяцев родилось не более одного человека. Тогда во всех n ящиках в совокупности сидит не более n кроликов. Пример 1 Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.

Научный форум dxdy

Внеклассная работа Пояснительная записка В настоящее время все более актуальной становится проблема развития одаренных детей. Это, прежде всего, связано с потребностью общества в неординарной творческой личности. Неопределенность современной окружающей обстановки требует от человека не только высокой активности, но и его умения, способности нестандартного поведения. Раннее выявление, обучение и развитие одаренных и талантливых детей составляет одну их главных проблем совершенствования системы образования. Цель программы — создание условий для раскрытия и развития внутреннего потенциала, способностей высокомотивированных учащихся и детей с признаками одаренности, удовлетворения их познавательных потребностей. Данная программа соответствует основной стратегии развития школы: ориентации нового содержания образования на развитие личности; реализации деятельностного подхода к обучению; обучению ключевым компетенциям готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач и привитие общих умений, навыков, способов деятельности как существенных элементов культуры, являющихся необходимым условием развития и социализации учащихся; обеспечению пропедевтической работы, направленной на раннюю профилизацию учащихся выбор в 10-м классе физико-математического направления. Когда ребенок переходит из начальной школы на среднюю ступень обучения, он уже обладает определенными вычислительными навыками по выполнению действий с натуральными числами, умеет решать стандартные задачи двух — трех видов, но чаще всего у него не развиты способности к аналитической деятельности. Главной задачей данной программы является формирование и развитие аналитических способностей у одаренных учеников, формирование исследовательских умений, а также развитие у них таких психических функций, как систематичность и последовательность мышления, способность к обобщению, сообразительность, память на числа, сосредоточение внимания, выдержку и настойчивость в работе.

На шахматной доске стоят 44 ферзя.

Введение 1. Способность четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли в настоящее время необходимы каждому. Совершенствовать эти два дара необходимо всю жизнь. Что он имел в виду?

Проект по математике "Принцип Дирихле"

.

Программа математического кружка "В мире чисел и задач" (для учащихся 5–6-х классов)

.

Факультативное занятие по математике для 5-8 классов " Принцип Дирихле"

.

.

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: №58. №19 задание ЕГЭ. Делимость. Сравнение по модулю. Принцип Дирихле
Похожие публикации